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Soient x, y et z (N*), premiers entre eux deux à deux . Alors x² + y² = z² (n, m)(N*)² premiers entre eux tels que :
x = 2.n.m,
y = n² - m²,
z = n² + m².
Démonstration
Premier sens : supposons avoir x² + y² = z².
On remarque tout d'abord que x et y ne sont pas pairs tous les deux, car PGCD(x, y) = 1.Si x et y étaient tous les deux impairs, alors (p, q) (N*)²,x = 2.p+1, y = 2.q+1,
donc x² = 4.p² + 4.p + 1 = 2.(2.p² + 2.p) + 1 et y² = 2.(2.q² + 2.q) + 1,
x² et y² seraient alors tous deux impairs. Ainsi, x² + y² serait seulement
divisible par 2 mais pas par 4. x² + y² ne serait donc pas un carré.
L'énoncé du lemme ne peut être vrai que si x et y sont de parités différentes.
supposons que x soit pair et y impair; il est nécessaire que z soit impair.
Ainsi : (u, v, w) (N*)3, x = 2.u, y + z = 2.v et z - y = 2.w
u, v et w sont premiers entre eux puisque x, y et z le sont.
x² = z² - y² = (z + y).(z - y) = 4.v.w donc u² = v.w
Le produit v.w est alors un carré. Or PGCD (v, w) = 1, nécessairement, v et w sont
eux même des carrés.
Donc :
(n, m) (N*)², PGCD(n, m) = 1, tels que v = n² et w = m².
Ainsi x² = 4.v.w = (2.n.m)² , donc x = 2.n.m ,y = v - w = n² - m² et z = v + w = n² + m².
CQFD.
Nous pouvons maintenant passer à la démonstration.
Soit (x, y, z) (N*)3 tel que x4 + y4 = z².
Quitte à diviser par leur PGCD, supposons que x, y et z soient premiers entre
eux deux à deux.
D'après le lemme, (n, m) (N*)² tel que :
PGCD(n, m) = 1 et x² = 2.n.m, y² = n² - m², z = n² + m².
D'après le lemme, y² est impair donc m est pair et n impair.
or x² = 2.n.m et PGCD(2.m, n) = 1, on a donc : (s, t) (N*)² et PGCD(s, t) = 1
tels que 2.m = (2.s)² et n = t².
Ainsi t4 = y² + (2.s²)², 2.s² est pair. D'après le lemme on a:
(p, q) (N*)² et PGCD(p, q) = 1 tels que s² = p.q, donc (p', q') (N*)² tels que
p = p'² et q = q'². Donc on a nécessairement PGCD(p', q') = 1 et toujours d'après
les résultats du lemme, on a t² = p² + q² = p'4 + q'4.
Ainsi on obtient la nouvelle relation t² = p'4 + q'4. Il est claire que t, p' et q' sont
premiers entre eux deux à deux et (p' < x, q' < y et t < z).
On obtient alors un nouveau triplet d'entiers non nul strictement inférieurs
au triplet (x, y, z), vérifiant la même équation. On peut ainsi refaire les même
raisonnements et trouver un autre triplets d'entiers strictement inférieurs aux
précédents. On pourrait faire infiniment les même raisonnements mais c'est
impossible car les entiers naturels sont minorés par 0.
On peut conclure que le triplet (x, y, z) n'existe pas.
CQFD. 
Énorme !